Восьмеричная система счисления
Восьмеричная сиситема счисления находит применение в технике в основном как средство компактной записи двоичных чисел. В прошлом была достаточно популярна, но в последнее время практически вытеснена шестнадцатеричной системой, т.к. последняя лучше ложиться на архитектуру современных цифровых устройств.
Итак, основанием системы является число восемь 8 или в восьмеричной системе 108 - это значит что для изображения чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7). Здесь и далее маленькое число справа внизу от основной записи числа будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание указывать не будем.
Давайте попробуем просто посчитать в этой системе, подобно тому как мы это делаем в привычной нам десятичной системе счисления. Будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:
Ноль - 0;
Один - 1;
Два - 2;
...
и так далее…
...
Шесть - 6;
Семь - 7;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число восемь? В десятичной системе в подобной ситуации (когда закончились цифры) мы ввели понятие десятка, здесь же введем понятие "восьмерка" и скажем, что восемь - это одина восьмерка и ноль единиц. А это уже можно и записать - "108".
Итак, Восемь - 108 (одна восьмерка, ноль единиц)
Девять - 118 (одна восьмерка, одна единица)
...
и так далее…
...
Пятнадцать - 178 (одна восьмерка, семь единиц)
Шестнадцать - 208 (две восьмерки, ноль единиц)
Семнадцать - 218 (две восьмерки, одна единица)
...
и так далее…
...
Шестьдесят три - 778 (семь восьмерок, семь единиц)
А теперь, чтобы считать дальше, нужно вводить более крупную единицу счета. Если в десятичной системе, мы в подобной ситуации вводили сотню, то в восьмеричной это будет "Шестьдесят четыре".
Шестьдесят четыре - 1008 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, ноль единиц)
Шестьдесят пять - 1018 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, одна единица)
Шестьдесят шесть - 1028 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, две единицы)
...
и так далее...
...
Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем восьмерками, шестьдесят четверками и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 53728 записанное в восьмеричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: пять по пятьсот двенадцать, три по шестьдесят четыре, семь восьмерок и две единицы. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
53728 = 5*512+3*64+7*8+2*1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 512, 64, 8, 1 есть не что иное, как целые степени числа восемь (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
53728 = 5*83+3*82+7*81+2*80
Подобным образом для восьмеричной дроби (дробного числа) например: 0.5728 (Сто пятьдесят семь пятьсот двенадцатых), про него можно сказать, что оно содержит: пять восьмых, семь шестьдесят четвертых и две пятьсот двенадцатых долей. И его значение можно вычислить следующим образом :
0.5728 = 5*(1/8) + 7*(1/64) + 2*(1/512)
И здесь ряд чисел 1/8; 1/64 и 1/512 есть не что иное, как целые степени числа восемь и мы также можем записать:
0.5728 = 5*8-1 + 7*8-2 + 2*8-3
Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:
752.364 = 7*82+5*81+2*80+1*8-1+5*8-2+9*8-3
Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного восьмеричного числа может быть вычислено по формуле :
N = dn8n+dn-18n-1+…+d181+d080+d-18-1+d-28-2+…+d-(m-1)8-(m-1)+d-m8-m
Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;
m - количество разрядов в дробной части числа
di - цифра стоящая в i-м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения восьмеричного числа, т.е. числа записанного в восьмеричной системе счисления. Но если в этой формуле число восемь заменить на некоторое натуральное число q, то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q:
N = dnqn+dn-1qn-1+…+d1q1+d0q0+d-1q-1+d-2q-2+…+d-(m-1)q-(m-1)+d-mq-m
С помощью этой формулы мы всегда можем вычислить значение числа записанного не только в восьмеричной системе счисления, но и в любой другой позиционной системе. О других системах счисления можно почитать на нашем сайте по следующим ссылкам.
